BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂNMục tiêu• gắng được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng ứng dụng Maple nhằm tính tích phân.
bài xích 3: Phép tính tích phân BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN mục tiêu • thế được những khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • làm được bài bác tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.Thời lượng ngôn từ • bài bác này giới thiệu với chúng ta các có mang tíchBạn cần dành từng tuần khoảng chừng 90phút nhằm đọc kỹ định hướng và khoảng tầm phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy120 phút trong khoảng hai tuần nhằm rộng và các phương thức tính những loại tích phânlàm bài tập để nắm vững nội dung này.bài học này. • Phép tính tích phân là 1 trong trong hai phép tính cơ bạn dạng của giải tích, có khá nhiều ứng dụng trong việc kỹ thuật, ghê tế…Hướng dẫn học• chúng ta nên đọc kỹ định hướng để nuốm được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định và các loại tích phân suy rộng.• bạn nên làm càng nhiều bài xích tập càng xuất sắc để nhuần nhuyễn phuơng pháp tính các loại tích phân đó. 43 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1. Tích phân bất định3.1.1. định nghĩa về tích phân bất định3.1.1.1. Nguyên hàm bài bác này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Ví như ta đến trước một hàm số f (x) thì gồm tồn tại hay là không một hàm số F(x) bao gồm đạo hàm bằng f (x) ? giả dụ tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một trong những nguyên hàm của hàm số f (x) bên trên một khoảng D nếu: F "(x) = f (x), ∀x ∈ D , xuất xắc dF(x) = f (x)dx . Lấy ví dụ như 1: Vì: (sin x) " = cos x, ∀x ∈ R bắt buộc sin x là nguyên hàm của hàm số cos x bên trên R . ⎛ 1⎞ 1 2x Vì: ⎜ arctg x + "= + , ∀x ≠ ±1 2⎟ 1− x ⎠ 1+ x (1 − x 2 ) 2 2 ⎝ 1 1 2x bên trên R ±1 . Nên: arctg x + + là một nguyên hàm của hàm số 1− x 1 + x (1 − x 2 ) 2 2 2 Định lý tiếp sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước chưa phải là duy nhất, trường hợp biết một nguyên hàm thì ta bao gồm thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm không giống của hàm số đó. Định lý: trường hợp F(x) là 1 trong nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng tầm D thì: Hàm số F(x) + C cũng là một trong những nguyên hàm của hàm số f (x) , cùng với C là một hằng số bất kỳ. Ngược lại, phần đông nguyên hàm của hàm số f (x) hầu hết viết được bên dưới dạng F(x) + C , trong các số ấy C là 1 hằng số. Triệu chứng minh: giả sử C là 1 hằng số bất kỳ, ta có: ( F(x) + C ) " = F "(x) = f (x) với tất cả x ∈ D . Theo khái niệm F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng tầm D. Ngược lại, giả sử ϕ( x) là 1 trong những nguyên hàm ngẫu nhiên của hàm số f (x) trên khoảng D. Ta có: < F(x) − ϕ(x)> " = F"(x) − ϕ "(x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ D . Suy ra F(x) − ϕ(x) nhận quý hiếm hằng số trên khoảng D: F(x) − ϕ(x) = −C ⇔ ϕ(x) = F(x) + C, ∀x ∈ D . Bởi vậy biểu thức F(x) + C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) , mỗi hằng số C khớp ứng cho ta một nguyên hàm.44 bài 3: Phép tính tích phân3.1.1.2. Tích phân biến động Định nghĩa: Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F(x) + C ; với x ∈ D ; trong các số đó F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) với C là 1 trong những hằng số bất kỳ. Tích phân bất định của f (x)dx được ký kết hiệu là: ∫ f (x)dx . Biểu thức f (x)dx được điện thoại tư vấn là biểu thức dưới dấu vết phân và hàm số f được điện thoại tư vấn là hàm số dưới dấu vết phân. Vậy: ∫ f (x)dx = F(x) + C , với F(x) là nguyên hàm của f (x) . Lấy ví dụ 2: ∫ cos xdx = sin x + C ∫ e dx = e + C . X x3.1.1.3. Các tính chất cơ bạn dạng của tích phân xác minh ⎡ f (x)dx ⎤ " = f (x) tốt d f (x)dx = f (x)dx ⎣∫ ∫ ⎦ ∫ F "(x)dx = F(x) + C hay ∫ dF(x) = F(x) + C ∫ af (x)dx = a ∫ f (x)dx , ( a là hằng số khác 0) ∫ dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx . Nhì tính chất sau cùng là đặc thù tuyến tính của tích phân bất định, ta rất có thể viết chung: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx trong những số ấy α, β là những hằng số không đồng thời bởi 0 Các đặc thù nói trên được chứng minh trực tiếp từ tư tưởng của tích phân bất định.3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ bạn dạng Các bí quyết tích phân sau đây được chứng tỏ bằng định nghĩa: dx x α+1 ∫ = ln x + C ∫ x dx = α + C, (α ≠ −1) x α +1 ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx dx ∫ cos = tg x + C ∫ sin = − cotg x + C 2 x 2 x ∫ e dx = e +C x x ax ∫ a dx = + C, (a > 0, a ≠ 1) x ln a dx 1 x ∫x = arctg + C a+x dx 1 +a 2 2 a a ∫a = ln +C −x 2a a − x 2 2 dx x ∫ = arcsin +C dx a a −x2 2 ∫ = ln x + x 2 + α + C x +α2 45 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.2. Các phương thức tính tích phân bất định3.1.2.1. Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các cách thức thích hợp để mang về những tích phân đã bao gồm trong bảng các công thức tích phân cơ bản ở trên. Một phương pháp đơn giản là phương thức khai triển. Phương thức này dựa trên đặc điểm tuyến tính của tích phân bất định: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx . Ta đối chiếu hàm số dưới vệt tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số dễ dàng và đơn giản mà đã hiểu rằng nguyên hàm của chúng, các hằng số được gửi ra phía bên ngoài dấu tích phân. Lấy ví dụ 3: 3 45 ∫ (2x x − 3x )dx = 2∫ x 2 dx − 3∫ x dx = x 2 − x3 + C 2 2 5 x4 ⎛ 1⎞ dx ∫⎜ 2sin x + x3 − ⎟dx = 2∫ sin xdx + ∫ x3dx − ∫ = −2cos x + − ln x + C x⎠ x 4 ⎝ ⎛1 1⎞ dx 1 ∫x = ∫⎜ 2 − dx = − + arctg x + C . 2⎟ (1 + x ) ⎝ x 1+ x ⎠ 2 2 x3.1.2.2. Phương pháp đổi khác biểu thức vi phân nhấn xét: ∫ f (u)du = F(u) + C ; trong đó Nếu: ∫ f (x)dx = F(x) + C thì u = u(x) là một trong hàm số khả vi liên tục. Ta hoàn toàn có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm nhì vế theo x. Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng: g(x)dx = f (u(x))u "(x)dx trong những số ấy f (x) là một hàm số mà ta dễ ợt tìm được nguyên hàm F(x) . Khi ấy tích phân đề xuất tính trở thành: ∫ g(x)dx = ∫ f (u(x))u "(x)dx = ∫ f (u(x))du = F(u(x)) + C ( a ≠ 0 ) trong trường hợp dễ dàng và đơn giản u (x) = ax + b thì du = adx , vì vậy nếu 1 ∫ f (x)dx = F(x) + C ta suy ra: ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C ( a ≠ 0 ) lấy ví dụ 4: 1 ∫ sin axdx = − a cos ax + C . ( a ≠ 0 ) eax + C ( a ≠ 0) ∫ e dx = ax a ∫e cos xdx = ∫ esin x d(sin x) = esin x + C sin x46 bài bác 3: Phép tính tích phân tg 3 x dx ∫ cos4 x = ∫ (1 + tg x)d(tg x) = 3 + tg x + C 2 ) +C ( 1 1 3 ∫ x 1 + 3x dx = ∫ 1 + 3x d(1 + 3x ) = 9 1 + 3x 2 2 2 2 6 ⎛π ⎞ arccos x arcsin x I=∫ dx = ∫ ⎜ − arcsin x ⎟ arcsin xd(arcsin x) ⎝2 ⎠ 1− x2 π 1 ⇒I= arcsin 2 x − arcsin 3 x + C . 4 33.1.2.3. Cách thức đổi đổi mới Xét tích phân I = ∫ f (x)dx ; trong các số đó f (x) là một trong hàm số liên tục. Để tính tích phân này, ta tìm phương pháp chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép thay đổi biến làm thế nào để cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t hoàn toàn có thể tìm được nguyên hàm một cách dễ dàng hơn. Ta chia phương thức đổi thay đổi làm nhì trường phù hợp là đổi phát triển thành xuôi x = ϕ(t) với đổi thay đổi ngược t = ψ(x) . • Phép đổi vươn lên là thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) ; trong những số đó ϕ( t) là 1 hàm số solo điệu, và gồm đạo hàm liên tục. Khi ấy ta có: I = ∫ f (x)dx = ∫ f < ϕ(t) > ϕ "(t)dt giả sử hàm số g(t) = f < ϕ(t) > ϕ "(t) tất cả nguyên hàm là hàm G(t) , với t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t) , ta có: I = ∫ g(t)dt = G(t) + C ⇒ I = G < h(x) > + C . • Phép đổi biến thứ hai: Đặt t = ψ(x) , trong các số đó ψ (x) là một trong hàm số bao gồm đạo hàm liên tục, cùng ta viết được hàm f (x) = g < ψ (x) > ψ "(x) . Khi đó ta có: CHÚ Ý : lúc tính tích phân cô động I = ∫ f (x)dx = ∫ g < ψ(x) > ψ "(x)dx . Bằng phương thức đổi thay đổi số, sau khi kiếm được nguyên mang sử hàm số g (t) bao gồm nguyên hàm là hàm số hàm theo biến chuyển số mới, buộc phải G (t) , ta có: đổi lại thành hàm số của vươn lên là I = G < ψ (x) > + C . Số cũ. Lấy một ví dụ 5: x a) Tính tích phân: I1 = ∫ dx 2−x ⎛ π⎞ Đặt x = 2sin 2 t, t ∈ ⎜ 0, ⎟ , ta tính được: ⎝ 2⎠ dx = 4sin t cos tdt ; 47 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ 2sin 2 t x = = tg t . 2−x 2(1 − sin 2 t) x Suy ra: I1 = ∫ dx = 4 ∫ sin 2 tdt = 2t − sin 2t + C . 2−x x Đổi lại biến hóa x, với t = arcsin , ta thu được: 2 x x I1 = ∫ dx = 2 arcsin − 2x − x 2 + C . 2−x 2 e2 x b) Tính tích phân I 2 = ∫ dx . Ex + 1 Đặt e x = t ⇒ e x dx = dt , ta có: ⎛ 1⎞ t I2 = ∫ dt = ∫ ⎜1 − ⎟ dt = t − ln t + 1 + C . T +1 ⎝ t +1 ⎠ Đổi lại vươn lên là x, ta được: I 2 = e x − ln(e x + 1) + C . Dx c) Tính tích phân I3 = ∫ . 1 + 4x Đặt t = 2− x ⇒ dt = −2− x ln 2dx , tích phân trở thành: −dt 1 dt 1 I3 = ∫ ∫ t 2 + 1 = − ln 2 ln(t + t + 1) + C . =− 2 ln 2 −2 t ln 2 1 + t 1 ln(2− x + 4− x + 1) + C . Đổi lại vươn lên là x, ta có: I3 = − ln 23.1.2.4. Phương thức tích phân từng phần trả sử u = u(x) với v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc rước vi phân d(uv) = udv + vdu ⇒ uv = ∫ d(uv) = ∫ udv + ∫ vdu . Suy ra : ∫ udv = uv − ∫ vdu . Xét tích phân: I = ∫ f (x)dx . Ta phải biểu diễn: f (x)dx = < g(x)h(x)> dx = g(x) < h(x)dx > = udv và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u = g(x); v = ∫ h(x)dx . Ta thường xuyên sử dụng phương thức này khi biểu thức dưới vết tích phân chứa một trong những hàm số sau đây: ln x;a x ; hàm con số giác, hàm số lượng giác ngược. Vậy thể: • trong những tích phân ∫ x n ekx dx; ∫ x n sin kxdx; ∫ x n cos kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn: u = x n48 bài bác 3: Phép tính tích phân ∫x α• trong các tích phân ln n xdx , α ≠ −1 với n nguyên dương, ta thường lựa chọn u = ln n x• trong tích phân ∫ x n arctg kxdx; ∫ x n arcsin kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn: u = arctg kx hoặc u = arcsin kx ; dv = x n dx .Ví dụ 6:Tính các tích phân bất định:a) I1 = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .b) I 2 = ∫ x 2 sin xdx . Đặt u = x 2 , dv = sin xdx ⇒ v = − cos x , ta được: I 2 = − x 2 cos x + 2∫ x cos xdx . Đặt u = x, dv = cos xdx ⇒ v = sin x , ta được: ( ) I2 = −x 2 cos x + 2 x sin x − ∫ sin xdx = −x 2 cos x + 2xsin x + 2cos x + C. Xe cộ x dxc) I3 = ∫ . (x + 1) 2 dx 1 Đặt u = xe pháo x ;dv = ⇒v=− ;du = (x + 1)e x dx , ta được: (x + 1) x +1 2 xe cộ x xe pháo x ex + ∫ e x dx = − I3 = − + ex + C = +C. X +1 x +1 x +1 xe x dxd) I 4 = ∫ . 1 + ex e x dx Đặt 1 + e x = t ⇒ = 2dt ; ta có: 1 + ex I4 = 2∫ < ln(t − 1) + ln(t + 1)> dt = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C . Đổi lại biến đổi x ta có: ) ( xe pháo x dx ∫ = 2(x − 2) 1 + e x + 4 ln 1 + 1 + e x − 2x + C . 1+ e x x arcsin xe) I5 = ∫ dx . 1− x2 49 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ xdx dx Đặt u = arcsin x;dv = ⇒ du = ; v = − 1 − x 2 , ta được: 1− x 1− x 2 2 I5 = − 1 − x 2 arcsin x + ∫ dx = − 1 − x 2 arcsin x + x + C . F) I6 = ∫ e x cos 2xdx . Đặt u = cos 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = −2sin 2xdx ; ta được: I6 = e x cos 2x + 2 ∫ e x sin 2xdx . Đặt u = sin 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = 2 cos 2xdx ; ta được: ( ) I6 = ex cos2x + 2 ex sin2x − 2∫ ex cos2xdx = ex cos2x + 2ex sin2x − 4I6 + 5C . Ex ( cos 2x + 2sin 2x ) + C . Vậy: I6 = 5 trong những mục sau đây họ sẽ xét tích phân bất định của một số trong những dạng hàm cơ bản: Hàm phân thức hữu tỷ, lượng chất giác, hàm chứa căn thức và trình bày một số cách thức giải chung so với tích phân những hàm này.3.1.3. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Định nghĩa: P(x) Một hàm phân thức hữu tỷ là 1 hàm số gồm dạng: f (x) = , Q(x) trong những số đó P(x), Q(x) là các đa thức của x. Một phân thức hữu tỷ tất cả bậc của nhiều thức sinh sống tử số nhỏ dại hơn bậc của nhiều thức ở chủng loại số là 1 trong những phân thức hữu tỷ thực sự. Bởi phép phân chia đa thức, phân tách P(x) mang đến Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng: r (x) f (x) = H(x) + Q(x) trong các số ấy H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư vào phép chia. R (x) khi đó là 1 trong phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của nhiều thức H(x) được Q(x) kiếm tìm bởi công thức tích phân cơ bản: x n +1 ∫ x dx = + C ; n nguyên dương. N n +1 r (x) Ta sẽ xét việc tìm kiếm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ sót lại trong nhì trường phù hợp Q(x) đặc biệt: mẫu mã số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc nhiều thức bậc hai. Một trong những trường hợp chủng loại số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để mang về nhì trường đúng theo trên.50 bài bác 3: Phép tính tích phân3.1.3.1. Tích phân của phân thức hữu tỷ với chủng loại số hàng đầu Xét tích phân: P(x) ∫ ax + b dx . Trong các số ấy P(x) là một đa thức. Ta màn trình diễn hàm dưới vết tích phân làm việc dạng sau: P(x) C = Q(x) + . Ax + b ax + b chúng ta sử dụng hai phương pháp sau để tính tích phân nói trên x n +1 dx 1 ∫ x dx = ∫ ax + b = a ln ax + b + C . + C, n ≥ 0 với n n +1 lấy một ví dụ 7: 2x 3 x 2 x ln 2x − 1 ⎛ ⎞ 4x 3 − 2x + 1 1 1 ∫ 2x − 1 dx = ∫ ⎜ 2x 2 + x − + dx = + −+ +C. ⎟ 2 2(2x − 1) ⎠ 3 22 4 ⎝3.1.3.2. Tích phân của phân thức hữu tỷ với chủng loại số bậc nhì P(x) ∫x Xét tích phân: dx . + px + q 2 trong những số đó P(x) là một trong những đa thức. Ta trình diễn hàm dưới vết tích phân ở dạng sau: Mx + N P(x) = Q(x) + 2 . X + px + q x + px + q 2 M Mp Ta viết lại: Mx + N = (2x + p) + N − 2 2 Mx + N M d(x 2 + px + q) ⎛ Mp ⎞ dx ∫ x 2 + px + q dx = ∫ 2 ⎟∫ 2 +⎜N− suy ra: x + px + q 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ ⎛ Mp ⎞ M dx ⎟∫ 2 = ln x 2 + px + q + ⎜ N − . 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ dx Tích phân còn sót lại ở vế cần J = ∫ được tìm kiếm như sau : x + px + q 2 • giả dụ tam thức x 2 + px + q có hai nghiệm rõ ràng x1 ≠ x 2 ; ta có: ⎛1 1⎞ x−x dx 1 1 J=∫ ∫ ⎜ x − x1 − x − x 2 ⎟ dx = x1 − x 2 ln x − x 12 + C . = (x − x1 )(x − x 2 ) x1 − x 2 ⎝ ⎠ • nếu như tam thức x 2 + px + q có nghiệm kép α , ta có: dx 1 J=∫ =− +C. (x − α) x −α 2 51 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ • nếu tam thức x 2 + px + q vô nghiệm, ta viết lại: 2 p⎞ ⎛ p2 ⎞ ⎛ x 2 + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟ = X 2 + a 2 , (a 2 > 0) . ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ 2x + p. 1 suy ra: J = arctg +C. A 2a lấy ví dụ như 8: 2x 2 − 3x + 2 5 2x + 1 − 1 ⎛ ⎞ 5x ∫ x 2 + x + 1 dx = ∫ ⎜ 2 − x 2 + x + 1 ⎟ dx = 2∫ dx − 2 ∫ x 2 + x + 1 dx Tính tích phân: ⎝ ⎠ 5 d(x 2 + x + 1) 5 dx ∫ x 2 + x + 1 + 2 ∫ (x + 1/ 2)2 + 3 / 4 = 2x − 2 2x + 1 5 5 = 2x − ln(x 2 + x + 1) + +C arctg 2 3 33.1.3.3. Cách thức hệ số bất định P(x) mang sử họ muốn so với một phân thức hữu tỷ thực thụ thành tổng (hiệu) Q(x) của những phân thức hữu tỷ thực sự bao gồm mẫu số là nhiều thức hàng đầu hoặc bậc hai. Trước tiên ta phân tích nhiều thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức số 1 hoặc bậc hai: Q(x) = (x − α1 )a1 ...(x − α m )a m (x 2 + p1x + q1 ) b1 ...(x 2 + p. N x + q n ) bn .
Trong những số đó αi , phường j , q j là các hằng số, a i , b j là những số nguyên dương, 1 ≤ i ≤ m;1 ≤ j ≤ n . • trường hợp trong so với của Q(x) mở ra đơn thức (x − α)a , a là số nguyên dương Ai P(x) thì trong phân tích của phân thức xuất hiện thêm các hạng tử dạng , trong (x − α)i Q(x) đó A i là hằng số cùng 1 ≤ i ≤ a . • trường hợp trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức (x 2 + px + q) b , b là số nguyên P(x) dương thì trong so với của phân thức xuất hiện các hạng tử dạng Q(x) B jx + C j , trong các số đó B j , C j là các hằng số với 1 ≤ j ≤ b . (x 2 + px + q) j P(x) sau khi viết được so với của , ta tìm những hằng số A i , B j , C j bằng phương pháp quy Q(x) đồng mẫu mã số ở nhì vế, rồi nhất quán hệ số của x n , n ∈ ở nhị vế. Ví dụ như 9: Tính những tích phân biến động x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 a) I1 = ∫ dx . (x 2 + 2)(x − 1)52 bài bác 3: Phép tính tích phân loại tử số mang lại mẫu số ta được đa thức x cùng phần dư. Vì mẫu số của phân thức có những nhân tử là x 2 + 2 và x − 1 nên ta viết lại phân thức làm việc dạng: x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 Bx + C 1 A =x+ 2 =x+ +2 . (x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1) x −1 x + 2 2 Quy đồng mẫu số ở nhì vế 3 = (A + B)x 2 + (C − B + 2)x − C Đồng nhất hệ số của x 2 , x và hệ số tự do, ta được: ⎧A + B = 0 ⎧A = 1 ⎪ ⎪ ⎨C − B + 2 = 0 ⇒ ⎨B = −1 ⎪ −C ⎪C = −1 =1 ⎩ ⎩ x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 3 1 1 2x 1 =x+ − −2 Suy ra: . (x + 2)(x − 1) x −1 2 x + 2 x + 2 2 2 ln(x 2 + 2) 1 x2 x Vậy tích phân bằng: I = + ln x − 1 − − + C. Arctg 2 2 2 2 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 b) I 2 = ∫ dx . (x + 1) 2 (x 2 + 2x + 3) 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 2 1 4 = 2+ − −2 Ta viết: . (x + 1) (x + 2x + 3) x + 1 (x + 1) x + 2x + 3 2 2 2 x +1 1 Suy ra: I = 2x + 2 ln x + 1 + − 2 2 arctg +C. X +1 23.1.4. Tích phân lượng chất giác3.1.4.1. Cách thức chung ∫ R (sin x, cos x)dx , trong các số đó hàm dưới dấu vết phân là hàm số của Xét tích phân x sin x, cos x . Ta rất có thể sử dụng phép thay đổi biến bao quát t = tg , lúc đó: 2 1− t2 2t 2t 2dt sin x = ;cos x = ; tg x = ;dx = 1+ t 1+ t 1− t 1+ t2 2 2 2 Tích phân vẫn xét được đem về tích phân của hàm số của biến chuyển t . Ví dụ như 10: sin x − cos x + 2 ∫ 1 + sin x + cos x dx . Tính tích phân: sin x − cos x + 2 d(1 + sin x + cos x) dx ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ∫ + 2∫ Ta viết: . 1 + sin x + cos x 1 + sin x + cos x 53 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ x Đặt t = tg , suy ra: 2 dx dt ∫ 1 + sin x + cos x = ∫ 1 + t = ln 1 + t + C . Cố gắng lại đổi mới cũ, ta được: sin x − cos x + 2 x ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ln 1 + sin x + cos x + 2 ln 1 + tg 2 + C . ∫ sin m x cos n xdx , trong các số đó m, n là các số nguyên3.1.4.2. Tích phân dạng • nếu như m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x . • giả dụ n là số nguyên dương lẻ, ta để t = sin x . • ví như m, n là những số nguyên dương chẵn, ta thực hiện công thức hạ bậc: 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin 2 x = ;cos 2 x = 2 2 rồi đem lại tích phân dạng ∫ sin k 2x cos e 2xdx. Lấy ví dụ 11: Tính các tích phân bất định a) I1 = ∫ sin 3 x cos 2 xdx Đặt cos x = t ⇒ − sin xdx = dt ; ta có: t5 t3 cos5 x cos3 x ∫ sin x cos xdx = ∫ (1 − t )t (−dt) = − +C = − +C. 3 2 22 53 5 3 b) I 2 = ∫ sin 4 x cos 2 xdx áp dụng công thức hạ bậc ta có: (1 − cos 2x)2 1 + cos 2x 1 dx = ∫ (1 − cos 2x − cos2 2x + cos3 2x ) dx I2 = ∫ 4 2 8 1 + cos 4x 1⎛ ⎞ sin 2x 1 −∫ dx + ∫ (1 − sin 2 2x)d(sin 2x) ⎟ ⇒ I2 = ⎜ x − 8⎝ 2 2 2 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 2x sin 3 2x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + − ⎟+C. 8⎝ 2 2 8 2 6⎠ Đối cùng với tích phân I 2 sau khoản thời gian sử dụng công thức hạ bậc lần trước tiên ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân vày công thức: 3sin x − sin 3x 3cos x + cos 3x sin 3 x = ;cos3 x = . 4 454 bài xích 3: Phép tính tích phân Áp dụng vào tích phân I 2 , ta có: 1 + cos 4x 3cos 2x + cos 6x ⎞ 1⎛ ∫ ⎜1 − cos2x − 2 + I2 = ⎟ dx 8⎝ 4 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 6x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + ⎟+C. 8⎝ 2 8 8 24 ⎠ trong trường hợp tổng quát sau khi sử dụng cách làm hạ bậc, có thể xuất hiện những tích phân dạng: ∫ sin ax cos bxdx; ∫ cos ax cos bxdx; ∫ sin ax sin bxdx với a ≠ b . Những tích phân dạng này có thể tính dễ dàng dàng bằng cách biến đổi tổng như sau: 1 ∫ sin ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ cos(a + b)x cos(a − b)x ⎤ =− ⎢ + +C. A−b ⎥ 2⎣ a+b ⎦ 1 ∫ cos ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a + b)x sin(a − b)x ⎤ = + +C. 2⎢ a+b a−b ⎥ ⎣ ⎦ 1 ∫ sin ax sin bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a − b)x sin(a + b)x ⎤ = − + C. 2⎢ a−b a+b ⎥ ⎣ ⎦ ∫ R(sin x, cos x)dx lúc tích phân tất cả thêm những tính chất đặc biệt, ta hoàn toàn có thể sử dụng các phép đổi trở thành như sau: Đặt t = cosx nếu như R (–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx). . Đặt t = sinx ví như R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx). Đặt t = tgx nếu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) .Ví dụ 12: dx ∫ sin x cosTính tích phân: 4 xĐặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx , ta có: ⎡1 1 1⎤ −dt 1 1 1 t +1 dx 1∫ sin x cos =∫ = ∫⎢ 4 − 2 − + ⎥ dt = − 3t 3 − t + 2 ln t − 1 + C (1 − t )t 2(t − 1) 2(t + 1) ⎦ 4 24 x ⎣t t 1 1 + cos x dx 1 1⇒∫ =− − + ln +C 3cos x cos x 2 1 − cos x 4 3 sin x cos x 55 bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.5. Tích phân hàm đựng căn thức ∫ R(x, ∫ R(x, α 2 ± x 2 )dx , x 2 − α 2 )dx , trong những số ấy R(u, v) là Xét tích phân bao gồm dạng các hàm số hữu tỷ. • Đặt x = α tg t so với tích phân ∫ R(x, α 2 + x 2 )dx . • Đặt x = α sin t hoặc x = a cos t so với tích phân ∫ R(x, α 2 − x 2 )dx . α α đối với tích phân ∫ R(x, x 2 − α 2 )dx . • Đặt x = hoặc x = cos t sin t lấy ví dụ như 13: Tính các tích phân sau: 3 − ∫ (1 − x 2 a) ) dx . 2 ⎛ π π⎞ Đặt x = sin t, t ∈ ⎜ − , ⎟ ⇒ dx = cos tdt, 1 − x 2 = cos t , cùng ⎝ 2 2⎠ 3 dt − ∫ (1 − x ) dx = ∫ = tg t + C = tg(arcsin x) + C . 2 2 cos 2 t dx ∫x b) . 1+ x2 2 ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ dt Đặt x = tg t ⎜ t ∈ ⎜ − , ⎟ ⎟ ⇒ dx = , ta có: cos 2 t ⎝ ⎝ 2 2 ⎠⎠ dx cos tdt 1 1 ∫x =∫ =− +C = − +C. 2 sin t sin t sin(arctg x) 1+ x2 23.2. Tích phân xác định3.2.1. Khái niệm tích phân xác định. Điều khiếu nại khả tích3.2.1.1. Bài bác toán diện tích s hình thang cong mang lại hàm số y = f (x) xác minh và tiếp tục trên đoạn < a, b > cùng giả sử f (x) không âm trên đoạn đó. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ dùng thị của hàm số y = f (x) ( x ∈ < a, b > ); những đường trực tiếp x = a, x = b và trục Ox. Tính diện tích S của hình thang cong AabB. Ta chia đoạn < a, b > thành n đoạn nhỏ dại bởi các điểm chia: x 0 ≡ a bài 3: Phép tính tích phân loại hình thang cong AabB thành n hình thang cong bé dại A i x i x i +1A i +1 . Ta có thể xấp xỉ diện tích của từng hình thang cong nhỏ dại đó bởi diện tích s của hình chữ nhật gồm cùng lòng dưới và chiều cao f (ξi ) , trong các số đó ξi là 1 trong những điểm bất kỳ nằm thân x i với x i +1 . Hotline Si là diện tích s của hình thang cong bé dại thứ i, ta có: mê say ≈ f (ξi )(x i +1 − x i ) = f (ξi )Δx i . Vậy diện tích S của hình thang cong AabB có thể xấp xỉ vị công thức: n −1 S ≈ ∑ f (ξi )Δx i . I=0 Tổng ngơi nghỉ vế phải được hotline là tổng tích phân ứng với phân hoạch π và biện pháp chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > . Khi số điểm chia n to lên vô hạn với độ dài các đoạn chia Δx i nhỏ dại dần thì cạnh trên của hình chữ nhật sản phẩm công nghệ i càng gần kề với dáng vẻ của thiết bị thị của f (x) bên trên đoạn < x i , x i+1 > , phép xấp xỉ diện tích s S vày tổng diện tích những hình chữ nhật nói trên càng thiết yếu xác. Khi n tiến ra vô cùng, giới hạn của tổng sinh sống vế phải chính là diện tích S của hình thang cong AabB: S = lim σ (3.1) n →∞ vào toán học, giới hạn ở vế phải trong những ràng buộc nhất quyết được gọi là tích phân xác minh của hàm số f (x) bên trên đoạn < a, b >3.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác minh Định nghĩa: cho hàm số f (x) khẳng định trên đoạn < a, b > . Phân hoạch đoạn < a, b > bởi các điểm phân tách x 0 ≡ a bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ với 1 phân hoạch π bất kỳ của đoạn < 0,1> và bí quyết chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > , ta lập tổng tích phân: n −1 n −1 σ = ∑ f (ξi )Δx i = C∑ Δx i = C . I=0 i=0 Theo khái niệm tích phân xác định, ta có một ∫ Cdx = lim σ = C . Max Δx i → 0 0 CHÚ Ý : Tích phân khẳng định của một hàm số khả tích f (x) bên trên đoạn < a, b > là một vài xác định, vì vậy tích phân không phụ thuộc vào ký kết hiệu của trở nên số dưới dấu vết phân b b b ∫ f (x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t)dt = ... A a a3.2.1.3. Điều khiếu nại khả tích Ta vượt nhận các định lý sau về tính chất khả tích của các hàm số. Định lý 1: Điều kiện buộc phải để một hàm số f (x) khả tích bên trên đoạn < a, b > là nó bị chặn trên đoạn đó. Định lý 2: Một hàm số f (x) xác minh trên đoạn < a, b > khả tích trên đoạn đó nếu nó thoả nguyện một trong những điều kiện sau đây: f (x) tiếp tục trên đoạn < a, b > . • f (x) đơn điệu với bị chặn trên < a, b > . • f (x) bị chặn và chỉ gồm hữu hạn điểm cách biệt trên < a, b > . • CHÚ Ý : từ định lý 2 khi đang biết hàm số f (x) khả tích bên trên đoạn < a, b > thì số lượng giới hạn của tổng tích phân không nhờ vào vào biện pháp phân hoạch đoạn < a, b > và cách chọn điểm ξi . Cho nên vì thế khi tính tích phân xác minh của một hàm khả tích bởi định nghĩa, ta tiến hành việc chia đầy đủ đoạn < a, b > , và chọn điểm ξi trùng với 1 trong các hai đầu mút của đoạn < x i , x i +1 > , (với 0 ≤ i ≤ n − 1 ). Khi đó ta tất cả i(b − a) b−a xi = a + ; Δx i = ; ξi = x i hoặc ξi = x i +1 n n58 bài 3: Phép tính tích phân lấy ví dụ như 15: 1 Tính tích phân ∫ x 2 dx . 0 hay thấy hàm số f (x) = x 2 liên tiếp và vì thế khả tích bên trên đoạn < 0,1> . Phân hoạch đoạn <0,1> bởi những điểm chia i 0 ≡ x 0 bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ b c b ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . A a c • tính chất tuyến tính của tích phân xác minh b b b ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx a a a trong số ấy α, β là các hằng số cùng f (x);g(x) là các hàm số khả tích bên trên đoạn < a, b > . • đưa sử f (x), g(x) là hai hàm số khả tích bên trên đoạn < a, b > và f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ < a, b > , ta gồm : b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx . A a vết “=” xẩy ra khi còn chỉ khi f (x) = g(x) với mọi x ∈ < a, b > • trường hợp f (x) khả tích trên đoạn < a, b > thì hàm số f (x) cũng khả tích trên đoạn đó cùng b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx . A a • đưa sử hàm số f (x) liên tiếp trên đoạn < a, b > thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ < a, b > làm sao để cho : b ∫ f (x)dx = f (c)(b − a) . A3.2.2. Công thức đạo hàm theo cận trên mang sử f (x) là 1 trong những hàm số thường xuyên trên đoạn < a, b > . Khi ấy f (x) cũng khả tích bên trên đoạn < a, x > cùng với x là một trong những điểm bất kỳ thuộc đoạn < a, b > . X Xét hàm số: Φ (x) = ∫ f (t)dt, x ∈ < a, b > . A Hàm số Φ ( x) được call là hàm cận trên. Định lý: ví như f (x) là hàm số tiếp tục trên đoạn < a, b > thì hàm cận trên Φ ( x) là hàm khả vi thường xuyên trên đoạn đó, và với tất cả điểm x ∈ < a, b > ta có: ⎛x ⎞ Φ "(x) = ⎜ ∫ f (t)dt ⎟ " = f (x) . ⎝a ⎠ nhận xét: công thức nói trên mang lại ta thấy hàm cận trên Φ ( x) là 1 trong những nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân f (x) bên trên đoạn < a, b > . Và bởi vậy mọi hàm số liên tục đều có nguyên hàm.60 bài 3: Phép tính tích phân3.2.3. Phương pháp Newton – Leibnitz b ∫ f (x)dx = F(x) b = F(b) − F(a) a a trong đó F(x) là một trong nguyên hàm ngẫu nhiên của hàm số tiếp tục f (x) . Phương pháp Newton – Leibnitz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số đó. Triệu chứng minh: vì hàm cận bên trên Φ ( x) là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn < a, b > cần ta có F(x) = Φ (x) + C . Nuốm x = a ta có: F(a) = Φ (a) + C = C . X Suy ra: ∫ f (t)dt = Φ (x) = F(x) − C = F(x) − F(a) . A b nạm x = b ta được: ∫ f (t)dt = F(b) − F(a) . A ví dụ 16: Tính các tích phân xác định: 2 a) I1 = ∫ x − 1 dx . 0 Ta thấy rằng tích phân của hàm số f (x) = x − 1 không suy ra thẳng được trường đoản cú bảng các tích phân cơ bản, cho nên vì vậy ta cần khử được vết giá trị tuyệt vời của hàm dưới dấu vết phân. Vì vậy ta phân tách đoạn lấy tích tạo thành hai đoạn: bên trên đoạn <0,1> hàm số f (x) = 1 − x , trên đoạn <1, 2> hàm số f (x) = x − 1 . Tiếp đến dùng phương pháp Newton – Leibnitz ta tính được tích phân: 1 2 ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ 1 2 I1 = ∫ (1 − x)dx + ∫ (x − 1)dx = ⎜ x − ⎟ + ⎜ − x ⎟ = 1 . 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎝ ⎠1 0 1 0 b) I 2 = ∫ x arctg(x + 1)dx . −1 Ta tìm kiếm một nguyên hàm của hàm dưới vết tích phân ⎛ x2 ⎞ x2 1 x 2 dx F(x) = ∫ x arctg xdx = ∫ arctg xd ⎜ ⎟ = arctg x − ∫ . 2 1+ x2 ⎝2⎠ 2 x2 1 Suy ra F(x) = arctg x − (x − arctgx) với theo bí quyết Newton – Leibnitz: 2 2 0 π−2 ∫ x arctg(x + 1)dx = F(0) − F(−1) = . 4 −1 61 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.2.4. Các phương thức tính tích phân xác minh Ta đang biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân khẳng định khi đã biết nguyên hàm của hàm số dưới vết tích phân, cho nên vì thế các phương pháp tính tích phân cô động đều được thực hiện để tính tích phân xác minh như là: cách thức khai triển, biến đổi vi phân, đổi vươn lên là và tích phân từng phần. Mặc dù khi dùng cách thức đổi biến, ta không cần thiết phải đổi lại biến thuở đầu mà chỉ việc tính lại cận tích phân tương ứng. Tiếp sau đây trình bày lại hai giải pháp đổi biến so với tích phân xác định, và bí quyết tích phân từng phần.3.2.4.1. Phương pháp tích phân từng phần b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a trong các số ấy u (x), v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục. Phương pháp này được vận dụng trong trường hòa hợp hàm dưới vết tích phân gồm chứa những hàm số a x , e x , ln x , các hàm lượng giác và những hàm lượng giác ngược. Ví dụ 17: 1 Tính tích phân: I = ∫ xe3x dx . 0 ⎧du = dx ⎧u = x ⎪ ⇒⎨ Đặt: ⎨ e3 x dv = e3x dx ⎪ v = ⎩ ⎩ 3 1 1 2e3 + 1 xe3x e3 1 1 1 − ∫ e3x dx = − e3x = suy ra: I = . 3 0 30 39 9 03.2.4.2. Cách thức đổi đổi mới b mang sử ta cần tính tích phân ∫ f (x)dx , trong những số đó f (x) là hàm số liên tiếp trên đoạn < a, b > . A • Phép đổi vươn lên là thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) , vào đó: Hàm số ϕ( t) xác định, liên tục và bao gồm đạo hàm liên tục trên đoạn < α, β> ϕ(α) = a, ϕ(β) = b . Lúc t đổi thay thiên trong khúc < α, β> hàm số x = ϕ(t) nhận giá trị khớp ứng trong đoạn < a, b > . β β b ∫ f (x)dx = ∫ f <ϕ(t)> ϕ "(t)dt = ∫ g(t)dt . Lúc đó: α α a • Phép đổi đổi thay thứ hai: Đặt t = ϕ(x) , vào đó:62
