Bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Góc giữa con đường thẳng với mặt phẳng
cài đặt xuống 12 1.136 13
emtc2.edu.vn xin reviews đến những quý thầy cô, những em học viên đang trong quá trình ôn tập bộ bài bác tập Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳngToán lớp 12, tài liệu bao gồm 12 trang, tuyển chọn chọn những bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng tương đối đầy đủ lý thuyết, cách thức giải cụ thể và bài bác tập tất cả lời giải, giúp các em học viên có thêm tài liệu xem thêm trong quy trình ôn tập, củng cố kiến thức và kỹ năng và chuẩn bị cho kì thi giỏi nghiệp thpt môn Toán sắp tới tới. Chúc những em học sinh ôn tập thật công dụng và đạt được hiệu quả như ý muốn đợi.
Bạn đang xem: Bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tài liệu Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳnggồm các nội dung chính sau:
I. Phương thức giải
- cầm tắt triết lý ngắn gọn;
- cách thức giải chi tiết từng dạng bài xích tập.
II. Một số trong những ví dụ/ lấy một ví dụ minh họa
- gồm 4 dạng bài xích tập với 16 lấy ví dụ như minh họa nhiều mẫu mã của những dạng bài xích tập trên có giải mã chi tiết.
Mời những quý thầy cô và những em học sinh cùng tìm hiểu thêm và cài về cụ thể tài liệu bên dưới đây:
Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng
I. Cách thức giải
Định nghĩa: Nếu con đường thẳng a vuông góc với khía cạnh phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa mặt đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng (hình 1).
Nếu mặt đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc thân a và hình chiếu của nó trên (P) được điện thoại tư vấn là góc giữa mặt đường thẳng a cùng mặt phẳng (P) (hình 2).
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.
■ phương thức giải:
Sử dụng khái niệm góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳng.
Cách tìm kiếm hình chiếu a"của a trên mặt phẳng (P) ta hoàn toàn có thể làm như sau:
Tìm giao điểmM=a∩P.
Tìm một điểm A tùy ý trên phố thẳng a A≠M và xác minh hình chiếu vuông góc H của A xung quanh phẳng (P). Lúc đó, là con đường thẳng đi qua hai điểm A cùng M. Ta tất cả β=a;P^=AMH^.
Xét tam giác vuông AMH ta có: cosβ=HMAMtanβ=AHMHsinβ=AHAM=dA;PAM
(trong đó dA;Plà khoảng cách từ điểm A mang lại mặt phẳng (P)).
II. Lấy ví dụ minh họa
- Dạng 1: Góc giữa lân cận và phương diện đáy
Tìm góc giữa kề bên SA và dưới mặt đáy (ABC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S cùng bề mặt phẳng lòng (ABC).
Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).
VậySA;ABC^=SA;HA^=SAH^.
Ví dụ 1: mang đến hình chóp S.ABC gồm đáy ABC là tam giác vuông trên B, bao gồm . Biết , SB sinh sản với đáy một góc và M là trung điểm của BC. a) Tính cosin góc thân SC cùng mặt phẳng (ABC). b) Tính cosin góc giữa SM cùng mặt phẳng (ABC). |
Lời giải
a) DoSA⊥ABC⇒SB;ABC^=SBA^=60°.
Do đóSA=ABtanSBA^=atan60°=a3.
Ta có:AC=AB2+BC2=2a;SC;ABC^=SCA^.
Khi đó:cosSCA^=ACSC=ACSA2+AC2=2a3a2+4a2=27.
b) DoSA⊥ABC⇒SM;ABC^=SMA^=φ.
Ta có:AM=AB2+BM2=a2+a322=a72.
Khi đócosφ=AMSM=AMSA2+AM2=13319.
Ví dụ 2: mang lại hình chóp S.ABCD, lòng là hình chữ nhật gồm a) Tính góc thân SB, SC cùng mặt phẳng (ABCD). b) hotline I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD). |
Lời giải
a) điện thoại tư vấn H là trung điểm của AB ta có:
Mặt khác
<eginarraylleft{ eginarraylleft( SAB ight) ot left( ABCD ight)\AB = left( SAB ight) cap left( ABCD ight)endarray ight.\ Rightarrow SH ot left( ABCD ight).endarray>
Tam giác SAB phần lớn cạnh 2a cần
Do
b) Ta có:
<eginarraylHI = sqrt HB^2 + BI^2 \ = sqrt a^2 + left( fraca2 ight)^2 = fracasqrt 5 2.endarray>
Mặt không giống
Lời giải
a) hotline O là trung điểm của AD < Rightarrow > OABC là hình thoi cạnh a < Rightarrow teo = a = frac12AD Rightarrow Delta ACD> vuông trên C.
Do
Do kia
<eginarraylAC = sqrt AD^2 - CD^2 = asqrt 3 \ Rightarrow cos widehat left( SC;left( ABC ight) ight) = cos widehat SCAendarray>
<eginarrayl = fracACSC = fracACsqrt SA^2 + AC^2 \ = fracasqrt 3 sqrt a^2 + 3a^2 = fracsqrt 3 2.endarray>
<eginarraylcos left( widehat SD;left( ABCD ight) ight) = cos widehat SDA\ = fracADsqrt SA^2 + AD^2 = frac2sqrt 5 .endarray>
b) Ta có:
<eginarraylAI = sqrt AC^2 + CI^2 \ = sqrt 3a^2 + left( fraca2 ight)^2 = fracasqrt 13 2.endarray>
Do đó
<eginarrayl an widehat left( SI;left( ABCD ight) ight) = an widehat SIA\ = fracSAAI = frac2sqrt 13 .endarray>
Dạng 2: Góc giữa kề bên và phương diện phẳng chứa đường cao
Tìm góc giữa ở kề bên SB và mặt phẳng (SHA) với
Dựng
Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAH).
Vậy
Ví dụ 1: cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tất cả Biết SC chế tác với đáy một góc <60^circ >. Tính cosin góc chế tác bởi: a) SC và mặt phẳng (SAB); SC cùng mặt phẳng (SAD). b) SD với mặt phẳng (SAC). |
Lời giải
Do
Lại có:
<eginarraylAC = sqrt AB^2 + AD^2 = 2a\ Rightarrow SA = AC an 60^circ = 2asqrt 3 .endarray>
Khi đó
Do
Mặt không giống
Tương tự
Ví dụ 2: cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi chổ chính giữa O cạnh a, Biết SC chế tạo với lòng một góc <60^circ >. Tính tan góc sinh sản bởi: a) SC và mặt phẳng (SAB). b) SD với mặt phẳng (SAC). |
Lời giải
a) Ta có:
Xét tam giác vuông OAB ta có:
< Rightarrow widehat OAB = 60^circ Rightarrow Delta ABC> đều cạnh a.
Mặt không giống
<eginarraylSA ot left( ABCD ight)\ Rightarrow widehat left( SC;left( ABCD ight) ight) = widehat SCA = 60^circ .endarray>
Suy ra
Dựng
< Rightarrow widehat left( SC;left( SAB ight) ight) = widehat CSH.>
Do
Ta có:
Do đó < an widehat CSH = fracsqrt 3 sqrt 13 = fracsqrt 39 13.>
b) Ta có:
Trong đó
<eginarraylOD = fracasqrt 3 2;\SO = sqrt SA^2 + OA^2 = fracasqrt 13 2\ Rightarrow an widehat DSO = fracsqrt 39 13.endarray>
Ví dụ 3: mang đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt dưới là điểm H thuộc cạnh AB làm sao cho a) SA với mặt phẳng (SHD). b) SB cùng mặt phẳng (SHC). |
Lời giải
a) Ta có:
<eginarraylAH = 1,HB = 2\ Rightarrow left{ eginarraylSA = sqrt SH^2 + AH^2 = sqrt 5 \SB = sqrt SH^2 + HB^2 = 2sqrt 2 endarray ight.endarray>
Dựng
<eginarraylAE ot DH Rightarrow AE ot left( SHD ight)\ Rightarrow widehat left( SA;left( SHD ight) ight) m = widehat mASEendarray>
Mặt không giống
Suy ra < an widehat mASE = fracAESA = frac6sqrt 185 .>
b) Dựng
Khi kia
Ta có: < an widehat left( SB;left( SHC ight) ight) = an widehat BSF = fracBFSB = frac3sqrt 5 10.>
Ví dụ 4: đến hình lăng trụ |
Ta có:
<eginarraylAC = sqrt AB^2 + BC^2 = 4a\ Rightarrow OA = 2a = OC.endarray>
Do
< Rightarrow A"O = OA an 60^circ = 2asqrt 3 >
Dựng
< Rightarrow widehat left( A"C;left( A"BD ight) ight) = widehat CA"H.>
Ta có:
Suy ra
<eginarraylcos widehat CA"H = fracA"HA"C = fracsqrt A"C^2 - HC^2 A"C\ = fracsqrt 16a^2 - 3a^2 4a = fracsqrt 13 4.endarray>
Ví dụ 5: đến hình lăng trụ đứng |
Lời giải
Dựng
Do
<eginarraylleft{ eginarraylCH ot AB\CH ot AA"endarray ight. Rightarrow CH ot left( ABB"A" ight)\ Rightarrow widehat left( A"C;left( ABB"A" ight) ight) = widehat CA"H.endarray>
Lại có:
Do kia < an widehat CA"H = fracCHA"H = 1 Rightarrow widehat CA"H = 45^circ .>
Vậy
Tìm góc giữa con đường cao SH cùng mặt phẳng (SAB).
Dựng
Ta có:
Mặt khác
Vậy
Ví dụ 1: mang lại hình chóp S.ABC, tất cả đáy ABC là tam giác phần lớn cạnh 2a. Bên cạnh |
Lời giải
Từ A kẻ AK vuông góc với BC trên K.
Ta bao gồm :
Kẻ
Suy ra
Tam giác SAK vuông trên A, có
< Rightarrow > tam giác SAK vuông cân tại A buộc phải
Vậy
Ví dụ 2: mang lại hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật bao gồm |
Lời giải
Do
Dựng
< Rightarrow > M là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC).
Khi đó:
Do kia < an alpha = fracABSA = frac12.>
Tương từ ta có:
Dựng
Mặt không giống
<eginarraylAF ot SE Rightarrow AF ot left( SBD ight)\ Rightarrow widehat left( SA;left( SBD ight) ight) = widehat ASF = widehat ASE.endarray>
Khi kia < an widehat ASE = fracAESA>, trong đó
<eginarraylAE = fracAB.ADsqrt AB^2 + AD^2 = frac2asqrt 5 \ Rightarrow an widehat ASE = fracAESA = frac1sqrt 5 .endarray>
Ví dụ 3: mang lại hình chóp S.ABCD bao gồm đáy là hình thang vuông trên A và B có |
Lời giải
Ta có:
Do
Suy ra
Dựng
Do đó
Suy ra
Ta có: < an widehat ASB = fracABSA = fracaasqrt 6 = frac1sqrt 6 .>
Gọi I là trung điểm của AD < Rightarrow > ABCI là hình vuông cạnh a < Rightarrow CI = fracAD2 = a Rightarrow Delta ACD> vuông trên C.
Khi đó
Dựng
Ta có: < an widehat ASC = fracACSA = fracasqrt 2 asqrt 6 = frac1sqrt 3 .>
Dựng
Mặt không giống
<eginarraylAE = fracAB.ADsqrt AB^2 + AD^2 = frac2asqrt 5 \ Rightarrow an widehat ASE = fracAESA = fracsqrt 30 15.endarray>Ví dụ 4: cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác số đông cạnh a, a) Tính rã góc tạo vị SA và (SBC). b) Tính góc tạo do SA cùng (SCD). |
Lời giải
a) call O là trung điểm của AD < Rightarrow > OABC là hình thoi cạnh a < Rightarrow co = a = frac12AD Rightarrow Delta ACD> vuông trên C.
Do
< Rightarrow SA = AB an 60^circ = asqrt 3 >,
Dựng
< Rightarrow widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = widehat ASF = widehat ASE.>
Do
Mặt khác
Suy ra < an widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = an widehat ASE = fracAESA = frac12.>
b) bởi
Dựng
Khi đó
Ta có: < an varphi = fracACSA = fracasqrt 3 asqrt 3 = 1 Rightarrow varphi = 45^circ .>
VậyVí dụ 5: mang đến hình lăng trụ |
Lời giải
Dựng
<eginarraylBC ot HF Rightarrow HF ot left( B"BCC" ight)\ Rightarrow widehat left( B"H;left( BCC"B" ight) ight)endarray>
< = widehat HB"F = widehat HB"E.>
Ta có:
Tính góc giữa cạnh bên SC với mặt phẳng (SAB). Đặt
Ta gồm công thức:
Từ đó suy ra các giá trị
Ví dụ 1: mang đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình chữ nhật gồm a) SA cùng mặt phẳng (SBC). b) SD với mặt phẳng (SAC). |
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AD ta có:
Lại có:
Ta có:
Do
< Rightarrow widehat left( SB;left( ABCD ight) ight) = widehat SBH = 30^circ >
Suy ra
a) bởi vì
Do vậy
Dựng
< Rightarrow dleft( H;left( SBC ight) ight) = HF = dleft( A;left( SBC ight) ight).>
Ta có:
Mặt khác:
<eginarraylfrac1HF^2 = frac1SH^2 + frac1HE^2 Rightarrow HF = fracasqrt 6 3\ Rightarrow sin widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = fracdleft( A;left( SBC ight) ight)SA = fracsqrt 3 3.endarray>
b) Dựng
Dựng
Do
< Rightarrow dleft( D;left( SAC ight) ight) = 2dleft( H;left( SAC ight) ight) = 2HI>
Dựng
< Rightarrow HI = fracHN.SHsqrt HN^2 + SH^2 = fraca2 Rightarrow dleft( D;left( SAC ight) ight) = a.>
Ta có:Ví dụ 2: đến hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình chữ nhật ABCD bao gồm |
Lời giải
Gọi O là trung điểm của BD ta có:
Ta có:
Dựng
Ta có:
< Rightarrow OF = fracSH.OEsqrt SH^2 + OE^2 = asqrt frac37 = fracasqrt 21 7>
Suy ra
Mặt không giống
Ví dụ 3: mang lại hình lăng trụ |
